PENERAPAN ALJABAR LINEAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL (Makalah ini ditujukan untuk memenuhi tugas kelompok mata kuliah Aljabar Linear)

Abstrak

Persamaan Diferesial merupakan persamaan yang melibatkan fungsi-fungsi dan turunan-turunan. Aljabar linear dapat digunakan untuk mencari solusi partikulir persamaan diferensial (PD)  dan sistem persamaan diferensial.

PENDAHULUAN

Tulisan ini merupakan suatu telaah untuk menentukan solusi pertikulir (pemecahan khusus) persamaan diferensial (PD) dan sistem persamaan deferensial. Dengan menggunakan metode matriks yang merupakan suatu metode relatif yang memiliki lang­kah-langkah pengerjaan yang cukup sederhana untuk mencari solusi partikulir.

KONSEP PENDUKUNG

Sebagai gambaran awal perhatikan persamaan diferensial sederhana berikut:

y’ = ay

dimana y = f(x) adalah sebuah fungsi takdiketahui yang akan ditentukan, y’ = dy/dx adalah turunannya, sedangkan a adalah sebuah konstanta. Seperti kebanyakan persamaan diferensial mempunyai takterhingga banyaknya pemecahan; pemecahan-pemecahan tersebut adalah fungsi-fungsi yang berbentuk:

y = ce^ax

dimana c adalah sembarang konstanta. Masing-masing fungsi berbentuk seperti ini menyajikan pemecahan dari y’ = ay karena

y’ = cae^ax = ay

sebaliknya, setiap pemecahan y’ = ay haruslah merupakan sebuah fungsi berbentuk ce^ax, sehingga menjelaskan semua pemecahan y’ = ay. Kita namakan sebagai pemecahan umum (general sulution)  y’ = ay.

Adakalanya kita harus menentukan pemecahan khusus (particular solution) dari pemecahan umum tersebut. Misalnya, mengaharuskan pemecahan y’ = ay memenuhi kondisi tambahan seperti y (0) = 6

yakni , y = 6 bila x = 3, maka dari pemecahan umum y = ce^ax  kita dapatkan nilai untuk c, yaitu:

6 = ce⁰ = c   jadi,   y = 6e^ax

adalah satu-satunya pemecahan y’ = ay yang memenuhi kondisi y (0) = 6.

Pada bagian ini kita akan coba telaah bagaimana memecahkan sistem persamaan diferesial yang berbentuk:

dimana y₁ = f₁ (x), y₂ = f₂ (x) , ..., y_n = f_n (x) adalah fungsi-fungsi yang akan ditentukan, dan a_ij adalah konstanta – konstata. Hal tersebut dapat dibuat dalam bentuk matrik, sebagai berikut:

secara lebih singkat dapat kita tulis :

Y’ = AY

utuk memecahkan sistem persamaan tersebut, dapat dilakukan beberapa langkah sebagai berikut:

1.      Carilah matrik P yang mendiagonalisasi A

2.      Buatlah subtitusi Y = PU dan Y’ = PU’ untuk mendapatkan “sistem diagonalisasi” yang baru U’ = DU, dimana D = P^-1AP

3.      Pecahkanlah U’=DU

4.      Tentukanlah Y dari persamaan Y = PU.

Sebelum kita lanjut ke proses pemecahan persamaan diferensial, kita sedikit ulas dulu tentang nilai eigen, vektor eigen, persamaan karakteristik, dan mendiagonalisasi matrik.

Jika A adalah matrik n x n, maka vektor taknol x di dalam Rⁿ dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni, Ax = lx untuk suatu skalar l. skalar l dinamakan nilai eigen atau nilai karakteristik dari A dan x dikatakan vektor eigen yang besesuaian dengan l.

Nilai eigen dari vektor eigen mempunyai tafsiran geometrik. Jika l adalah nilai eigen dari A yang bersesuaian dengan x, maka Ax = lx, sehingga perkalian oleh A akan memperbesar x, atau membalik arah x, yang bergantung pada nilai l.

untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita menuliskan kembali  Ax = lx sebagai

Ax = lIx atau ekuivalen (lI – A)x = 0

supaya l menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan takanol dari persamaan ini atau seperti yang telah kita bahas dahulu, persamaan tersebut akan mempunyai pemecahan taknol jika dan hanya jika

det (lI – A) = 0

ini dinamakan persamaan karakteristik A; skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. Bila diperluas, maka determinan det (lI – A) adalah polinom l yang kita namakan polinom karakteristik dari A.

Lebih lanjut menurut Finizio dan Ladas (1988:79) mendefiniskan bahwa persamaan polinom;

f(l) = a_nlⁿ + a _{n -1}l^{n – 1}+ ... + a ₁l + a ₀

disebut polinom karakteristik untuk persamaan diferensial homogen dengan koefisien konstanta, berbentuk :

a_nyⁿ + a _{n -1} y^{n – 1}+ ... + a ₁y’ + a ₀ y = 0

dan persamaan f (l) = 0 disebut persamaan karakteristik untuk persamaan diferensial homogen tersebut, akar-akar persamaan karakteristik itu disebut akar-akar karakteristik.

APLIKASI

Contoh 1:

Selesaikan persamaan diferensial homogen y” = 0 yang memenuhi syarat awal y (1) = 1 dan y’ (1) = 2.

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial diatas kita dapat langsung mengintegralkannya:

                         (1)

kemudian kita integralan lagi sehingga didapat :

               (2)

dengan syarat awal y (1) = 1 dan y’ (1) = 2, maka kita subtitusikan ke persamaan (1) dan  persamaan (2), diperoleh :

c₁ + c₂ = 1

c₁         = 2

didapat matrik yang diperbesar sebagai berikut:

dengan menggunakan OBE kita dapat menemukan nilai c₁ dan c₂, sebagaimana berikut:

sehingga didapat c₁ = 2 dan c₂ = -1.

maka penyelesaian khusus (particular solution) dari persamaan diferensial diatas adalah

y = 2x -1

Contoh 2:

(a)    Pecahkanlah sistem

y’₁ = -2y₁ + y₂

y’₂ = 4y₁  + y₂

(b)   Carilah pemecahan yang memenuhi kondisi-kondisi awal y₁(0) = 1, y₂ (0) = 6

Penyelesian:

(a)  Matrik koefisien untuk persamaan tersebut adalah

untuk mencari matrik P yang mendiagonalisasi A, maka kita cari vektor-vektor eigen dari A yang bebas linear.

maka polinom karakteristik dari A adalah

dan persamaan karakteristik dari A adalah

Nilai-nilai eigennya didapat dari = (l - 2) (l + 3) = 0, maka nilai-nilai eigennya adalah    l = 2 dan l = -3.

menurut definisi,

adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan l, jika dan hanya jika x adalah pemecahan taktrivial dari (lI – A) = 0, yakni dari

Jika l = 2, maka

dengan OBE kita peroleh

diperoleh persamaan baru  , misal x₁ = t maka  x₂ = 4t.

sehingga

,

jadi,

adalah sebuah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan l = 2.

Jika l = -3, maka

dengan OBE kita peroleh

diperoleh persamaan baru  , misal x₁ = t maka  x₂ = -t.

sehingga

,

jadi,

 adalah sebuah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan l = -3.

jadi,

mendiagonalisasi A, dan

untuk memecahkan U’ = DU, kita subtitusi Y = PU dan Y’ = PU’ , yaitu

didapat pemecahannya adalah

sehingga persamaan Y = PU menghasilkan Y sebagai pemecahan baru

atau

(b) Jika kita mensubtitusikan kondisi-kondisi awal yang diberikan ke dalam pemecahan umum (general solution) tersebut, kita dapatkan;

y₁ (0) = 1, maka c₁ + c_{2 = 1}

 y₂(0) = 6, maka 4c₁- c₁= 6

dengan OBE, kita dapat ,mencari nilai c₁ dan c₂

                      

dengan demikian c₁ =  dan c₂ = , sehingga dengan kondisi-kondisi awal diberikan penyelesaian kuhususnya atau particular solution adalah

Contoh 3 :

Pecahkanlah persamaa diferensial y” – y’ – 6y = 0.

Penyelesaian:

Persamaan diferensial ini mempunyai persamaan karakteristik

l² - l - 6 = 0

(l - 3) (l + 2) = 0

sehingga nilai karakteristiknya adalah l = 3 dan l = -2

jadi penyelesaian umumnya adalah

.

atau anda bisa dengan memisalkan y₁ = y, dan y₂ = y’ sehingga didapat sistem persamaan diferensial;

y’₁ = y₂

y’₂ = 6y₁ + y₂  (Silahkan anda coba!)

KESIMPULAN

Sebagaimana diketahui, suatu metode atau langkah yang ditemukan tidak luput dari kelebihan dan kelemahan dalam penggunaannya dan tidak terkecuali dalam langkah-langkah me­nentukan solusi partikulir Persamaan Diferesial Linear tersebut. Akan tetapi kita sudah dapat melukiskan bahwa aljabar linear dapat diterapkan untuk memecahkan sistem persamaan diferensial tertentu, yang sangat berperan dan begitu  mendalam.

DAFTAR PUSTAKA

1. Anton, Howard, 1998. Aljabar Linear Elementer. Erlangga. Jakarta.
2. Anton, Howard & Rorres Chris, 1987.Penerapan Aljabar Linear. Erlangga.Jakarta.
3. Dailami, Zumaldi. Metode matriks:mencari solusi partikulir  persamaan diferensial linear orde dua tak homogen dengan koefisien konstanta. Jurnal Matematika, FMIPA-UT
4. Elementary Linear Algebra with Applications Version Copyright © 2005 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved. www.wiley.com/college/anton
5. Finizio, Joan. & Ladas, Theodora,1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern.Erlangga.Jakarta.
6. Nababan, S.M, 1984. Pendahuluan Persamaan Diferensial Biasa. Karunika Universitas Terbuka, Jakarta.
7. Nicholson, Keith W, 2006. Linear Algebra With Applications. McGraw-Hill, Inc. New York.
8. Purcell, Edwin J and Vaeberg, Dale. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Erlangga. Jakarta.
9. Purcell, Edwin J and Vaeberg, Dale. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Erlangga. Jakarta.