PENERAPAN ALJABAR LINEAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL (Makalah ini ditujukan untuk memenuhi tugas kelompok mata kuliah Aljabar Linear)

Abstrak

Persamaan Diferesial merupakan persamaan yang melibatkan fungsi-fungsi dan turunan-turunan. Aljabar linear dapat digunakan untuk mencari solusi partikulir persamaan diferensial (PD)  dan sistem persamaan diferensial.

PENDAHULUAN

Tulisan ini merupakan suatu telaah untuk menentukan solusi pertikulir (pemecahan khusus) persamaan diferensial (PD) dan sistem persamaan deferensial. Dengan menggunakan metode matriks yang merupakan suatu metode relatif yang memiliki lang­kah-langkah pengerjaan yang cukup sederhana untuk mencari solusi partikulir.

KONSEP PENDUKUNG

Sebagai gambaran awal perhatikan persamaan diferensial sederhana berikut:

y’ = ay

dimana y = f(x) adalah sebuah fungsi takdiketahui yang akan ditentukan, y’ = dy/dx adalah turunannya, sedangkan a adalah sebuah konstanta. Seperti kebanyakan persamaan diferensial mempunyai takterhingga banyaknya pemecahan; pemecahan-pemecahan tersebut adalah fungsi-fungsi yang berbentuk:

y = ce^ax

dimana c adalah sembarang konstanta. Masing-masing fungsi berbentuk seperti ini menyajikan pemecahan dari y’ = ay karena

y’ = cae^ax = ay

sebaliknya, setiap pemecahan y’ = ay haruslah merupakan sebuah fungsi berbentuk ce^ax, sehingga menjelaskan semua pemecahan y’ = ay. Kita namakan sebagai pemecahan umum (general sulution)  y’ = ay.

Adakalanya kita harus menentukan pemecahan khusus (particular solution) dari pemecahan umum tersebut. Misalnya, mengaharuskan pemecahan y’ = ay memenuhi kondisi tambahan seperti y (0) = 6

yakni , y = 6 bila x = 3, maka dari pemecahan umum y = ce^ax  kita dapatkan nilai untuk c, yaitu:

6 = ce⁰ = c   jadi,   y = 6e^ax

adalah satu-satunya pemecahan y’ = ay yang memenuhi kondisi y (0) = 6.

Pada bagian ini kita akan coba telaah bagaimana memecahkan sistem persamaan diferesial yang berbentuk:

dimana y₁ = f₁ (x), y₂ = f₂ (x) , ..., y_n = f_n (x) adalah fungsi-fungsi yang akan ditentukan, dan a_ij adalah konstanta – konstata. Hal tersebut dapat dibuat dalam bentuk matrik, sebagai berikut:

secara lebih singkat dapat kita tulis :

Y’ = AY

utuk memecahkan sistem persamaan tersebut, dapat dilakukan beberapa langkah sebagai berikut:

1.      Carilah matrik P yang mendiagonalisasi A

2.      Buatlah subtitusi Y = PU dan Y’ = PU’ untuk mendapatkan “sistem diagonalisasi” yang baru U’ = DU, dimana D = P^-1AP

3.      Pecahkanlah U’=DU

4.      Tentukanlah Y dari persamaan Y = PU.

Sebelum kita lanjut ke proses pemecahan persamaan diferensial, kita sedikit ulas dulu tentang nilai eigen, vektor eigen, persamaan karakteristik, dan mendiagonalisasi matrik.

Jika A adalah matrik n x n, maka vektor taknol x di dalam Rⁿ dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni, Ax = lx untuk suatu skalar l. skalar l dinamakan nilai eigen atau nilai karakteristik dari A dan x dikatakan vektor eigen yang besesuaian dengan l.

Nilai eigen dari vektor eigen mempunyai tafsiran geometrik. Jika l adalah nilai eigen dari A yang bersesuaian dengan x, maka Ax = lx, sehingga perkalian oleh A akan memperbesar x, atau membalik arah x, yang bergantung pada nilai l.

untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita menuliskan kembali  Ax = lx sebagai

Ax = lIx atau ekuivalen (lI – A)x = 0

supaya l menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan takanol dari persamaan ini atau seperti yang telah kita bahas dahulu, persamaan tersebut akan mempunyai pemecahan taknol jika dan hanya jika

det (lI – A) = 0

ini dinamakan persamaan karakteristik A; skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. Bila diperluas, maka determinan det (lI – A) adalah polinom l yang kita namakan polinom karakteristik dari A.

Lebih lanjut menurut Finizio dan Ladas (1988:79) mendefiniskan bahwa persamaan polinom;

f(l) = a_nlⁿ + a _{n -1}l^{n – 1}+ ... + a ₁l + a ₀

disebut polinom karakteristik untuk persamaan diferensial homogen dengan koefisien konstanta, berbentuk :

a_nyⁿ + a _{n -1} y^{n – 1}+ ... + a ₁y’ + a ₀ y = 0

dan persamaan f (l) = 0 disebut persamaan karakteristik untuk persamaan diferensial homogen tersebut, akar-akar persamaan karakteristik itu disebut akar-akar karakteristik.

APLIKASI

Contoh 1:

Selesaikan persamaan diferensial homogen y” = 0 yang memenuhi syarat awal y (1) = 1 dan y’ (1) = 2.

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial diatas kita dapat langsung mengintegralkannya:

                         (1)

kemudian kita integralan lagi sehingga didapat :

               (2)

dengan syarat awal y (1) = 1 dan y’ (1) = 2, maka kita subtitusikan ke persamaan (1) dan  persamaan (2), diperoleh :

c₁ + c₂ = 1

c₁         = 2

didapat matrik yang diperbesar sebagai berikut:

dengan menggunakan OBE kita dapat menemukan nilai c₁ dan c₂, sebagaimana berikut:

sehingga didapat c₁ = 2 dan c₂ = -1.

maka penyelesaian khusus (particular solution) dari persamaan diferensial diatas adalah

y = 2x -1

Contoh 2:

(a)    Pecahkanlah sistem

y’₁ = -2y₁ + y₂

y’₂ = 4y₁  + y₂

(b)   Carilah pemecahan yang memenuhi kondisi-kondisi awal y₁(0) = 1, y₂ (0) = 6

Penyelesian:

(a)  Matrik koefisien untuk persamaan tersebut adalah

untuk mencari matrik P yang mendiagonalisasi A, maka kita cari vektor-vektor eigen dari A yang bebas linear.

maka polinom karakteristik dari A adalah

dan persamaan karakteristik dari A adalah

Nilai-nilai eigennya didapat dari = (l - 2) (l + 3) = 0, maka nilai-nilai eigennya adalah    l = 2 dan l = -3.

menurut definisi,

adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan l, jika dan hanya jika x adalah pemecahan taktrivial dari (lI – A) = 0, yakni dari

Jika l = 2, maka

dengan OBE kita peroleh

diperoleh persamaan baru  , misal x₁ = t maka  x₂ = 4t.

sehingga

,

jadi,

adalah sebuah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan l = 2.

Jika l = -3, maka

dengan OBE kita peroleh

diperoleh persamaan baru  , misal x₁ = t maka  x₂ = -t.

sehingga

,

jadi,

 adalah sebuah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan l = -3.

jadi,

mendiagonalisasi A, dan

untuk memecahkan U’ = DU, kita subtitusi Y = PU dan Y’ = PU’ , yaitu

didapat pemecahannya adalah

sehingga persamaan Y = PU menghasilkan Y sebagai pemecahan baru

atau

(b) Jika kita mensubtitusikan kondisi-kondisi awal yang diberikan ke dalam pemecahan umum (general solution) tersebut, kita dapatkan;

y₁ (0) = 1, maka c₁ + c_{2 = 1}

 y₂(0) = 6, maka 4c₁- c₁= 6

dengan OBE, kita dapat ,mencari nilai c₁ dan c₂

                      

dengan demikian c₁ =  dan c₂ = , sehingga dengan kondisi-kondisi awal diberikan penyelesaian kuhususnya atau particular solution adalah

Contoh 3 :

Pecahkanlah persamaa diferensial y” – y’ – 6y = 0.

Penyelesaian:

Persamaan diferensial ini mempunyai persamaan karakteristik

l² - l - 6 = 0

(l - 3) (l + 2) = 0

sehingga nilai karakteristiknya adalah l = 3 dan l = -2

jadi penyelesaian umumnya adalah

.

atau anda bisa dengan memisalkan y₁ = y, dan y₂ = y’ sehingga didapat sistem persamaan diferensial;

y’₁ = y₂

y’₂ = 6y₁ + y₂  (Silahkan anda coba!)

KESIMPULAN

Sebagaimana diketahui, suatu metode atau langkah yang ditemukan tidak luput dari kelebihan dan kelemahan dalam penggunaannya dan tidak terkecuali dalam langkah-langkah me­nentukan solusi partikulir Persamaan Diferesial Linear tersebut. Akan tetapi kita sudah dapat melukiskan bahwa aljabar linear dapat diterapkan untuk memecahkan sistem persamaan diferensial tertentu, yang sangat berperan dan begitu  mendalam.

DAFTAR PUSTAKA

1. Anton, Howard, 1998. Aljabar Linear Elementer. Erlangga. Jakarta.
2. Anton, Howard & Rorres Chris, 1987.Penerapan Aljabar Linear. Erlangga.Jakarta.
3. Dailami, Zumaldi. Metode matriks:mencari solusi partikulir  persamaan diferensial linear orde dua tak homogen dengan koefisien konstanta. Jurnal Matematika, FMIPA-UT
4. Elementary Linear Algebra with Applications Version Copyright © 2005 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved. www.wiley.com/college/anton
5. Finizio, Joan. & Ladas, Theodora,1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern.Erlangga.Jakarta.
6. Nababan, S.M, 1984. Pendahuluan Persamaan Diferensial Biasa. Karunika Universitas Terbuka, Jakarta.
7. Nicholson, Keith W, 2006. Linear Algebra With Applications. McGraw-Hill, Inc. New York.
8. Purcell, Edwin J and Vaeberg, Dale. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Erlangga. Jakarta.
9. Purcell, Edwin J and Vaeberg, Dale. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Erlangga. Jakarta.

Selang Kepercayaan Untuk Koefisien Garis Regresi Dalam Hal Ragam Galat Tidak Homogen Menggunakan Metode OLS dan WLS

Nama:

Harmi Sugiarti & Andi Megawarni

Judul:

Selang Kepercayaan Untuk Koefisien Garis Regresi Dalam Hal Ragam Galat Tidak

Homogen Menggunakan Metode OLS dan WLS

Tanggal: Maret, 2002

Abstract

The assumption of homogeneous error variance underlying the OLS method was so important in getting the best linear unbiased estimation of the regression coefficients. Violation of this assumption could reduce the accuracy of confidence interval of the regression coefficients.This paper aims at comparing the width of confidence interval which results from OLS and WLS methods when the error term was not homogen. Using simulation data with MINITAB indicates that the width of confidence interval results from WLS method ere narrower compare to OLS method.

PENDAHULUAN

Hubungan linear antara peubah respons dengan p peubah bebas dapat dimodelkan sebagai: . Y_i adalah nilai peubah respons pada pengamatan ke-i dan X_i adalah nilai peubah bebas pada pengamatan ke-i. adalah koefisien regresi yang tidak diketahui nilainya, e_i adalah suku galat yang bersifat acak dengan mean nol (E(e_i) = 0) dan ragam sama untuk setiap pengamatan (s²(e_i ) = s²) serta e_i dan e_j tidak berkorelasi untuk setiap ij, i,j = 1, 2, ... ,n.

Penduga bagi parameter b berupa selang kepercayaan dapat diperoleh melalui metode kuadrat terkecil biasa (ordinary least square, OLS). Dengan metode ini dapat diperoleh suatu penduga yang bersifat tak bias linear terbaik (best linear unbiased estimation, BLUE). Salah satu asumsi dasar yang harus dipenuhi metode OLS adalah terpenuhinya teorema Gauss-Markov yaitu ragam galat sama untuk setiap pengamatan (s²(e_i ) = s²) biasanya disebut asumsi kehomogenan ragam galat.

Dalam hal terdapat penyimpangan terhadap asumsi, khususnya penyimpangan asumsi kehomogenan ragam galat, metode OLS akan menghasilkan penduga tak bias linear dengan ragam yang tidak minimum. Apabila hubungan regresi yang tepat telah diperoleh tetapi ragam galat masih tetap tidak homogen, maka salah satu alternatifnya adalah metode kuadrat terkecil terbobot (weighted least square, WLS). Metode WLS adalah suatu metode yang cukup efektif dalam kondisi ragam galat tidak homogen. Adapun tujuan dari tulisan ini adalah dengan menggunakan data hasil simulasi dan data hasil eksperimen ingin dibandingkan lebar selang kepercayaan koefisien garis regresi yang diperoleh menggunakan metode OLS dan lebar selang kepercayaan koefisien garis regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode WLS dalam hal ragam galat tidak homogen.

SELANG KEPERCAYAAN

Selang kepercayaan adalah suatu kisaran nilai yang dianggap mengandung nilai parameter populasi yang sebenarnya. Besaran B dan A dikatakan menentukan selang kepercayaan (1-a)100% bagi suatu parameter apabila memenuhi kriteria berikut:

a.       P[B nilai parameter yang sebenarnya A] (1-a) dan

b.      Nilai-nilai B dan A dapat dihitung apabila sampel telah diambil dari populasi dan digunakan untuk  menghitung kedua batas tersebut.

Selang kepercayaan yang cukup baik adalah selang kepercayaan yang mempunyai lebar selang yang sempit dan persentase selang yang memuat parameter cukup besar (Koopmans, 1987).

METODE KUADRAT TERKECIL

Hubungan linear antara satu peubah respons dengan p peubah bebas dapat dinyatakan sebagai: atau dengan notasi matriks dapat ditulis sebagai: . Dalam hal ini Y adalah vektor respons, X adalah matriks konstanta, b adalah vektor parameter dan e adalah vektor galat bersifat acak normal bebas dengan nilai harapan E(e) = 0 dan matriks ragam koragam , dimana I adalah matriks identitas.

Untuk mendapatkan nilai dugaan bagi parameter yaitu dapat digunakan metode kuadrat terkecil. Pada dasarnya, metode ini meminimumkan jumlah kuadrat simpangan Y dari nilai harapannya yaitu meminimumkan , sehingga dengan menyelesaikan persamaan normal , akan diperoleh penduga OLS bagi b adalah .
Selang kepercayaan (1-a)100% untuk parameter b dapat diperoleh sebagai: dan lebar selang dapat dinyatakan dengan , p menyatakan banyaknya peubah bebas dalam model, n menyatakan banyaknya pengamatan, dan (Draper,1981).

METODE KUADRAT TERKECIL TERBOBOT

Jika pada OLS setiap pengamatan diberi pembobot yang sama, maka pada metode WLS setiap pengamatan diberi pembobot yang tidak sama. Untuk model dengan , dimana V adalah matriks diagonal dengan , penduga untuk koefisien persamaan regresi adalah (Myers, 1990).

Dengan demikian jika digunakan pembobot , , maka akan diperoleh penduga untuk koefisien persamaan regresi yaitu: , jika diketahui. Sedangkan untuk tidak diketahui, kita dapat menduga melalui rata-rata kuadrat galat murni untuk setiap kelompok ulangan berdasarkan pengamatan nilai rata-rata peubah bebas X. Selang kepercayaan (1-a)100% untuk parameter b* dapat diperoleh sebagai dan lebar selang dinyatakan dengan , , p menyatakan banyaknya peubah bebas dalam model dan n menyatakan banyaknya pengamatan (Neter,1990).

HETEROSKEDASTISITAS

Salah satu asumsi yang penting dalam model regresi linear adalah ragam galat homogen (homoskedastisitas) atau s²(e_i) =s² . Jika asumsi ini tidak dipenuhi, maka kondisi yang ada disebut ragam galat tidak homogen (heteroskedastisitas).

Untuk mengetahui apakah suatu model regresi mengalami heteroskedastisitas atau tidak, salah satunya dapat digunakan uji Goldfelt-Quandt (Gujarati,1988).

DATA

Data yang dipergunakan dalam tulisan ini adalah data simulasi yang dibangkitkan dengan bantuan paket program MINITAB 11.12 dan data eksperimen, yaitu berupa data rata-rata panjang daun (cm) tanaman temulawak (Curcuma Xanthorrhiza Roxb.) pada umur 17 minggu yang diberi pupuk kandang pada berbagai taraf (tanpa pupuk, 0,5 kg/lubang, 1 kg/lubang) dan ditanam pada 2 variasi jarak tanam yaitu 60 X 40 cm dan 60 X 60 cm (Priono, 1988).

HASIL DARI DATA SIMULASI

Sebanyak tiga kelompok galat (e₁ , e₂ , e₃) dibangkitkan secara terpisah dengan software MINITAB, dimana masing-masing kelompok berisi sepuluh galat (Tabel 1).

Tabel 1: Data Simulasi

Pengamatan	X1	X2	e	Y
1.	48	53	-0,02759	100.972	1	1
2.	95	26	0,6587	121.659	1	1
3.	42	1	-1,26903	41.731	1	1
4.	62	46	1,83219	109.832	1	1
5.	34	22	-0,50565	55.494	1	1
6.	17	11	-1,03007	26.97	1	1
7.	23	90	-1,35382	111.646	1	1
8.	62	50	0,60968	112.61	1	1
9.	83	24	0,54867	107.549	1	1
10.	79	91	0,49285	170.493	1	1
11.	42	62	-0,08276	103.917	9	0,1111
12.	18	13	1,9761	32.976	9	0,1111
13.	89	36	-3,80709	121.193	9	0,1111
14.	8	40	5,49658	53.497	9	0,1111
15.	76	14	-1,51694	88.483	9	0,1111
16.	2	36	-3,09022	34.91	9	0,1111
17.	37	23	-4,06147	55.939	9	0,1111
18.	5	89	1,82903	95.829	9	0,1111
19.	21	28	1,64601	50.646	9	0,1111
20.	48	89	1,47856	138.479	9	0,1111
21.	83	88	-0,13793	170.862	25	0,04
22.	40	11	3,2935	54.293	25	0,04
23.	60	24	-6,34514	77.655	25	0,04
24.	30	28	9,16096	67.161	25	0,04
25.	37	100	-2,52823	134.472	25	0,04
26.	66	74	-5,15036	134.85	25	0,04
27.	69	82	-6,76912	144.231	25	0,04
28.	67	11	3,04839	81.048	25	0,04
29.	55	26	2,74335	83.743	25	0,04
30.	37	61	2,46427	100.464	25	0,04

Tabel 2: Data Eksperimen

Pengamatan	X1	X2	Y
1.	0	40	52,90	7,26	0,137760	10,14	0,0986193
2.	0	40	55,07	7,26	0,137760	10,14	0,0986193
3.	0	40	55,73	7,26	0,137760	10,14	0,0986193
4.	0	60	46,97	7,26	0,137760	10,14	0,0986193
5.	0	60	48,00	7,26	0,137760	10,14	0,0986193
6.	0	60	53,50	7,26	0,137760	10,14	0,0986193
7.	0,5	40	69,00	5,75	0,173883	10,14	0,0986193
8.	0,5	40	70,60	5,75	0,173883	10,14	0,0986193
9.	0,5	40	64,40	5,75	0,173883	10,14	0,0986193
10.	0,5	60	69,27	5,75	0,173883	971,0	0,0010299
11.	0,5	60	71,03	5,75	0,173883	971,0	0,0010299
12.	0,5	60	71,20	5,75	0,173883	971,0	0,0010299
13.	1	40	72,13	1697,00	0,000589	971,0	0,0010299
14.	1	40	72,73	1697,00	0,000589	971,0	0,0010299
15.	1	40	77,90	1697,00	0,000589	971,0	0,0010299
16.	1	60	46,73	1697,00	0,000589	971,0	0,0010299
17.	1	60	73,93	1697,00	0,000589	971,0	0,0010299
18.	1	60	158,30	1697,00	0,000589	971,0	0,0010299

Dengan mengasumsikan , , dan diperoleh pasangan data X₁ , X₂ ,Y dan pembobot W pada Tabel 1. Metode kuadrat terkecil (OLS) dan WLS memberikan penduga bagi koefisien garis regresi dan standar deviasinya sebagai berikut:

Tabel 3: Penduga Koefisien Garis Regresi Data Simulasi

Koefisien Regresi	OLS		WLS
b0	2,396	1,557	-0,9361	0,7687
b1	0,96714	0,02383	1,01526	0,0114
b2	0,98137	0,02049	1,00305	0,01005

Dari tabel di atas tampak bahwa metode OLS memberikan nilai lebih besar dibanding metode WLS. Nilai yang lebih besar mempunyai pengaruh terhadap lebar selang yang dihasilkan, yaitu semakin besar nilai maka lebar selang yang dihasilkan juga makin lebar. Dengan demikian lebar selang yang dihasilkan dengan metode OLS akan lebih lebar dibanding selang yang dihasilkan dengan metode WLS atau dengan kata lain metode WLS menghasilkan selang yang lebih sempit dibanding metode OLS.

Secara singkat, lebar selang kepercayaan untuk koefisien garis regresi dapat dilihat pada Tabel 4 berikut ini:

Tabel 4: Lebar Selang Koefisien Garis Regresi Data Simulasi

Koefisien Regresi	Koefisien Kepercayaan 95%		Koefisien Kepercayaan 99%
	OLS	WLS	OLS	WLS
b0	6,3899	3,1548	8,6289	4,2601
b1	0,0978	0,0468	0,1321	0,0632
b2	0,0841	0,0413	0,1136	0,0557

HASIL DARI DATA EKSPERIMEN

Dengan menggunakan data eksperimen (Tabel 2) tentang rata-rata panjang daun tanaman temulawak berumur 17 minggu (Y) yang diberi pupuk kandang pada tiga taraf (X₁) dan ditanam pada 2 variasi jarak tanaman (X₂), metode OLS dan WLS memberikan penduga bagi koefisien garis regresi sebagai berikut:

Tabel 5: Penduga Koefisien Garis Regresi Data Eksperimen

Koefisien Garis Regresi	OLS		WLS
			Pembobot Jarak Tanam		Pembobot Konsentrasi Pupuk
b0	39,04	27,25	44,78	20,96	54,071	4,291
b1	31,59	12,73	19,933	2,575	34,381	3,287
b2	0,2693	0,1597	0,2693	0,5198	-0,0406	0,0822

Lebar selang kepercayaan untuk koefisien garis regresi secara singkat dapat dilihat pada Tabel 6 berikut ini:

Tabel 6: Lebar Selang Koefisien Garis Regresi Data Eksperimen

Koefisien	Koefisien Kepercayaan 95%			Koefisien Kepercayaan 99%
Garis		WLS			WLS
Regresi	OLS	Jarak Tanam	Konsentrasi Pupuk	OLS	Jarak Tanam	Konsentrasi Pupuk
b0	116,1395	89,3315	18,2882	160,6115	123,5382	25,2912
b1	54,2553	10,9747	14,0092	75,0306	15,1771	19,3736
b2	2,2150	2,2154	0,3503	3,0631	3,0637	0,4845

Jika digunakan jarak tanam sebagai pembobot, tampak bahwa lebar selang yang dihasilkan oleh metode WLS lebih sempit dibanding selang yang dihasilkan oleh metode OLS, kecuali untuk selang koefisien garis regresi b₂ . Sedangkan jika konsentrasi pupuk sebagai pembobot, maka tampak bahwa lebar selang yang dihasilkan oleh metode WLS lebih sempit dibanding selang yang dihasilkan oleh metode OLS untuk semua koefisien garis regresi.

KESIMPULAN

Metode OLS memberikan lebar selang kepercayaan untuk koefisien garis regresi dengan koefisien kepercayaan 95% lebih sempit dibanding lebar selang kepercayaan untuk koefisien garis regresi dengan koefisien kepercayaan 99%, begitu juga dengan metode WLS. Hal ini disebabkan karena semakin tinggi koefisien kepercayaan yang digunakan, maka nilai sebaran t-nya semakin besar.

Metode WLS menghasilkan selang kepercayaan untuk koefisien garis regresi lebih baik dibanding metode OLS jika ragam galat tidak homogen, karena metode WLS menghasilkan selang yang lebih sempit dibanding metode OLS.

DAFTAR PUSTAKA

1. Draper, N.R. & Smith, H. (1981). Applied Regression Analysis. 2^nd ed. New york: Wiley.
2. Gujarati, D.N. (1988). Basic Econometrics. 2^nd ed. Singapore: Mc.Graw Hill.
3. Koopmans, L.H. (1987). Introduction to Contemporary Statistical Methods. 2^nd ed. Boston: PWS.
4. Priono, M. (1988). Pengaruh Pemberian Pupuk Kandang dan Jarak Tanam terhadap  Pertumbuhan Tanaman Temulawak ( Curcuma Xanthorrhiza Roxb.). Skripsi (tidak dipublikasikan). Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto.